Fiziksel Model ve Hamiltoniyen: 3B dış manyetik alan $\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)$ ve sürekli spin vektörleri $|\mathbf{S}_i| = 1$ ile sistemin Hamiltoniyeni şu şekilde tanımlanır:
$$ \mathcal{H} = -J \sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j - \sum_i \mathbf{B} \cdot \mathbf{S}_i $$
Monte Carlo Güncelleme Algoritması ve Marsaglia Örneklemesi: Simülasyon Metropolis–Hastings algoritmasını kullanır. Deneme spini, mevcut spin etrafındaki bir "koni" içinde üretilir. Bunun için önce birim küre üzerinde düzgün dağılmış rastgele bir $\mathbf{r}$ vektörü, trigonometrik fonksiyonlara gerek duymayan Marsaglia yöntemi (1972) ile üretilir: $u, v \in [-1, 1]$, $s = u^2 + v^2 < 1$ koşulu sağlanana kadar çekilir. Ardından deneme spini şu şekilde oluşturulur:
$$ \mathbf{r} = \left(2u\sqrt{1-s},\; 2v\sqrt{1-s},\; 1-2s\right), \qquad \mathbf{S}' = \frac{\mathbf{S} + \delta\,\mathbf{r}}{|\mathbf{S} + \delta\,\mathbf{r}|} $$
Bu öneri simetriktir (olasılığı yalnızca $\mathbf{S}\cdot\mathbf{S}'$'ye bağlıdır), dolayısıyla ayrıntılı denge korunur. Koni genişliği $\delta$, kabul oranı yaklaşık %50 olacak şekilde her süpürmeden sonra yavaşça ayarlanır; güncel değerler kontrol panelinde gösterilir. (Uyarlama yalnızca süpürmeler arasında yapıldığından, tanıtım amaçlı bu simülasyonda ihmal edilebilir bir sapma getirir.) Küre üzerinde tamamen rastgele deneme spinleri ise düşük sıcaklıkta neredeyse hiç kabul edilmez ve sistem yapay olarak "donar"; koni hamleleri bunu önler.
Görselleştirme ve Renk Kodlaması: Örgü projeksiyonu, 3B spin vektörlerini 2B düzleme yansıtır:
Termodinamik Hafıza: Simülasyon sırasında sıcaklık veya manyetik alan parametrelerinin değiştirilmesi, örgüyü rastgele bir konfigürasyona sıfırlamaz. Sistem mevcut mikro-durumunu korur ve yeni koşullar altında termodinamik evrimine devam eder. Bu özellik, ani soğutma (thermal quench) veya tavlama (simulated annealing) süreçlerinin doğrudan simüle edilmesini sağlar. Ancak, farklı denge durumları arasındaki geçişin yaratacağı karmaşayı önlemek için, herhangi bir parametre değişikliğinde manyetizasyon dizileri ve görselleştirme grafikleri otomatik olarak temizlenir.
Güncelleme Sıklığı (MCS/kare): Monte Carlo simülasyonlarında zaman, Monte Carlo süpürmesi (MCS) ile ölçülür; bir MCS, $N$ adet deneme spin güncellemesine karşılık gelir. Bu parametre, ekrana iki çizim arasında kaç MCS yapılacağını belirler. Daha yüksek bir değer, dengeye MCS cinsinden daha hızlı ulaştırmaz. Ancak çizim maliyeti daha az sayıda kareye düştüğü için sistem gerçek (duvar saati) zamanında daha hızlı ilerler ve ardışık görünür kareler daha az ilintili olur. 1 değeri ise Markov zincirindeki birbirine çok yakın mikro-durumları tek tek gösterir.
Mermin-Wagner Teoremi ve Sonlu Boyut Etkileri: Sıfır dış alanda ($\mathbf{B} = 0$) kısa erimli etkileşimlere sahip izotropik bir 2B Heisenberg modeli için Mermin-Wagner teoremi, sürekli dönme simetrisinin sonlu herhangi bir sıcaklıkta ($T > 0$) kırılamayacağını belirtir. Sonuç olarak, termodinamik limitte ($N \to \infty$) sistem uzun erimli ferromanyetik düzeni sürdüremez ve manyetizasyonun beklenen değeri sıfırdır. Bu spesifik simülasyonda düşük sıcaklıklarda gözlemlenen herhangi bir görünür makroskopik düzenlenme veya sıfırdan farklı manyetizasyon, bir sonlu boyut etkisidir (finite-size effect). Bu durum, manyetik korelasyon uzunluğunun simüle edilen örgünün sınırlı uzaysal boyutlarını ($L=30$) aşması ve sistemi sanki düzenli (pseudo-ordered) bir duruma hapsetmesi nedeniyle meydana gelir.
Gözlemlenebilirler (Observables): Çizgi grafiği, küresel manyetizasyon bileşenlerinin zaman evrimini (Monte Carlo adımı cinsinden) izler:
$$ M_{\alpha} = \frac{1}{N} \sum_i S_i^{\alpha}, \quad \alpha \in \{x, y, z\} $$