Fiziksel Model ve Hamiltoniyen: Bu simülasyon, “$C_6$ Simetrili Örgüde Stokastik Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) Dinamiği” sayfasındaki modelin aynısını kullanır: $C_6$ simetrili üçgen örgüde birim uzunluklu klasik spinler ($|\mathbf{S}_i| = 1$), en yakın komşu değiş-tokuş etkileşimi, Dzyaloshinskii–Moriya etkileşimi (DMI) ve dış manyetik alan. Tek fark, dış alanın artık zamana bağlı olmasıdır: sabit bir $\mathbf{B}_0$ alanına küçük, periyodik bir $\mathbf{h}(\tau)$ alanı eklenir.
$$ \mathcal{H}(\tau) = -J \sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j - \sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{D}_{ij} \cdot (\mathbf{S}_i \times \mathbf{S}_j) - \sum_i \left[\mathbf{B}_0 + \mathbf{h}(\tau)\right] \cdot \mathbf{S}_i $$
Néel tipi için $\mathbf{D}_{ij} = D(\hat{u}_{ij} \times \hat{z})$, Bloch tipi için $\mathbf{D}_{ij} = D\hat{u}_{ij}$ alınır. Sabit alan bileşenleri $B_x, B_y, B_z$ sliderlarıyla, dinamik alan ise "Dinamik alan" satırıyla ayarlanır.
LLG Denklemi: Spinlerin zaman evrimi, “$C_6$ Simetrili Örgüde Stokastik Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) Dinamiği” sayfasındaki boyutsuz Landau–Lifshitz–Gilbert denklemiyle hesaplanır ($\tau = t/t_0$, $t_0 = (1+\alpha^2)/(\gamma J)$):
$$ \frac{d\mathbf{S}_i}{d\tau} = -\mathbf{S}_i \times \mathbf{h}_i^{\text{toplam}} - \alpha \, \mathbf{S}_i \times (\mathbf{S}_i \times \mathbf{h}_i^{\text{toplam}}) $$
$$ \mathbf{h}_i^{\text{eff}} = \sum_{j} \left( J\,\mathbf{S}_j + \mathbf{S}_j \times \mathbf{D}_{ij} \right) + \mathbf{B}_0 + \mathbf{h}(\tau) $$
Burada $\mathbf{h}_i^{\text{toplam}} = \mathbf{h}_i^{\text{eff}} + \mathbf{h}_i^{\text{th}}$'dir. Termal alan $\mathbf{h}_i^{\text{th}}$ “$C_6$ Simetrili Örgüde Stokastik Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) Dinamiği” sayfasındakiyle aynı biçimde tanımlanır; ancak bu sayfa varsayılan olarak $T = 0$'da çalışır (aşağıya bakınız).
Skyrmion Örgüsünün Spin Dalgası Modları: Skyrmion örgüsü, mikrodalga frekanslarında rezonansa gelen karakteristik kolektif titreşimlere sahiptir (Mochizuki, Phys. Rev. Lett. 108, 017601 (2012); Onose ve ark., Phys. Rev. Lett. 109, 037603 (2012)). Bu modların üçü düzgün (uzayca homojen) bir alanla uyarılabilir:
Frekansların sıralaması $\omega_{\text{CCW}} < \omega_{\text{breathing}} < \omega_{\text{CW}}$ şeklindedir. Varsayılan parametrelerde ($B_z = 0.7$, $D = 1$) bu simülasyonda ölçülen değerler sırasıyla $\omega \approx 1.15$, $1.55$ ve $2.43$'tür (boyutsuz $\tau$ biriminde).
Dinamik Alan ve Polarizasyon: Uygulanan alan $\mathbf{h}(\tau)$, genliği $h_0$ ve açısal frekansı $\omega$ olan dört biçimde seçilebilir:
$$ \text{Doğrusal (x):}\ \mathbf{h} = h_0 \sin(\omega\tau)\,\hat{x}, \qquad \text{Düzlem dışı (z):}\ \mathbf{h} = h_0 \sin(\omega\tau)\,\hat{z} $$
$$ \text{Dairesel CCW / CW:}\ \mathbf{h} = h_0 \left( \cos\omega\tau,\ \pm\sin\omega\tau,\ 0 \right) $$
Doğrusal polarize bir alan, zıt yönlerde dönen ve her birinin genliği $h_0/2$ olan iki dairesel alanın toplamıdır; bu yüzden CCW ve CW modlarını birlikte uyarır. Dairesel alan ise yalnızca kendi dönme yönündeki modla etkileşir. Örneğin $\omega = 1.15$'te CCW dairesel alan güçlü bir tepki üretirken, aynı frekans ve genlikteki CW dairesel alanın etkisi küçük kalır. Bu, dönme yönüne göre seçici uyarmanın doğrudan bir gösterimidir.
Rezonans, Sönüm ve Faz: Her mod, sönümlü ve sürülen bir osilatör gibi davranır. Sürme frekansı modun frekansına yaklaştıkça tepkinin genliği artar; rezonans eğrisinin genişliği yaklaşık $\alpha\omega$ mertebesindedir. Rezonansta tepki, sürme alanının yaklaşık çeyrek periyot ($90^\circ$) gerisinde kalır; zaman grafiğinde bu faz farkı doğrudan görülebilir. “$C_6$ Simetrili Örgüde Stokastik Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) Dinamiği” sayfasındaki $\alpha = 0.3$ değeriyle rezonans genişliği modlar arasındaki farkla aynı mertebede olduğundan modlar ayırt edilemez; bu nedenle bu sayfa $\alpha = 0.05$ ile başlar. Termal dalgalanmalar çekirdeklerin küçük dönme hareketini örteceği için varsayılan sıcaklık $T = 0$'dır.
Spektrum Ölçümü: "Spektrumu ölç" düğmesine basıldığında önce dinamik alan kapatılır ve sistem güçlü sönümle ($\alpha = 0.5$, $\Delta\tau = 20$) dengeye durultulur. Ardından sisteme kısa bir alan darbesi uygulanır: üç zaman adımı ($\Delta\tau = 0.06$) boyunca $\mathbf{h} = (0.5,\, 0,\, 0.5)$. Darbe tüm modları aynı anda uyarır. Ardından $T = 0$'da manyetizasyonun değişimi $\delta\mathbf{M}(\tau)$, $\tau = 160$ süresince kaydedilir ve Hann pencereli Fourier dönüşümü alınır:
$$ \tilde{m}_+(\omega) = \sum_k \left[\delta M_x(\tau_k) + i\,\delta M_y(\tau_k)\right] w_k\, e^{-i\omega\tau_k}, \qquad \tilde{m}_z(\omega) = \sum_k \delta M_z(\tau_k)\, w_k\, e^{-i\omega\tau_k} $$
Karmaşık $m_+ = M_x + iM_y$ niceliği dönme yönünü ayırt eder: $\omega > 0$'daki tepeler CCW, $\omega < 0$'daki tepeler CW dönmeye karşılık gelir. Breathing modu $\tilde{m}_z$ spektrumunda görülür. Bulunan tepe frekansları otomatik olarak CCW, Breathing ve CW düğmelerine atanır ve ölçüm bittikten sonra spin konfigürasyonu ölçüm öncesindeki haline geri getirilir. Mod frekansları $B_z$ ve $D$'ye bağlıdır. Bu parametreler son ölçümden sonra değiştirilirse düğmelerin yanında ⚠ işareti belirir; bu durumda spektrumu yeniden ölçmek gerekir.
Başlangıç Durumu ve Sistem Boyutu: Sayfa, $L \times L$ ($L = 30$) eşkenar dörtgen örgüye tam olarak sığan, $4 \times 4$ skyrmionlu düzenli bir üçgen skyrmion örgüsüyle başlar (skyrmionlar arası uzaklık $L/4 = 7.5$ örgü sabiti, periyodik sınır koşulları). Başlangıç profili, sürme başlamadan önce güçlü sönümle ($\alpha = 0.5$, $T = 0$, $\Delta\tau = 40$) dengeye durultulur. Rastgele bir başlangıçtan oluşan düzensiz skyrmion dokusunda modlar birbirine karışır ve spektrumda tek, geniş bir tepe görülür; bunu "Rastgele başlat" düğmesiyle karşılaştırabilirsiniz.
Sayısal Yöntem: Integrasyon, “$C_6$ Simetrili Örgüde Stokastik Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) Dinamiği” sayfasındaki Heun (tahminci–düzeltici) yöntemiyle $d\tau = 0.02$ adımıyla yapılır. Zamana bağlı alan, tahmin aşamasında $\tau$ anında, düzeltme aşamasında ise $\tau + d\tau$ anında hesaplanır. "İntegrasyon/Kare" parametresinin varsayılan değeri 5'tir; bu değerle CCW modunun bir periyodu yaklaşık 55 karede, CW modununki yaklaşık 26 karede tamamlanır ve hareket gözle rahatça izlenebilir.
Görselleştirme: Renk kodlaması “$C_6$ Simetrili Örgüde Stokastik Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) Dinamiği” sayfasıyla aynıdır:
Grafiklerden ilki, sürme alanını (kesikli çizgi, sağ eksen) ve uyarılan manyetizasyon bileşenini (sol eksen) aynı zaman ekseninde gösterir. İkincisi, düzlem içi manyetizasyonun ortalamadan sapmasının $(\delta M_x, \delta M_y)$ düzlemindeki yörüngesidir (hodograf); kırmızı nokta anlık değeri gösterir. Dönme yönü bu yörüngeden hesaplanır ve kontrol panelinde topolojik yük $Q$ ile birlikte yazılır. $Q$, “$C_6$ Simetrili Örgüde Stokastik Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) Dinamiği” sayfasındaki gibi Berg–Lüscher tanımıyla hesaplanır. Üçüncü grafik, son spektrum ölçümünü gösterir.
Önerilen Deneyler:
Sınırlamalar: Bu bir tanıtım modelidir. $D = J$ seçimiyle skyrmionlar yalnızca birkaç örgü sabiti büyüklüğündedir. Mod sıralaması sürekli kuramla uyumludur, ancak frekanslar ayrık örgü etkileri içerir ve yalnızca nitel olarak yorumlanmalıdır. Frekanslar boyutsuz $\tau$ birimindedir; gerçek frekans $J/\hbar$ ölçeğine bağlıdır ve gerçek kiral mıknatıslarda bu modlar GHz bölgesindedir. Burada gösterilen modlar skyrmion örgüsüne aittir; tek, yalıtılmış bir skyrmionda CW modu magnon sürekliliğine karışır ve iyi tanımlı değildir. Düğmelerin seçtiği genlikler doğrusal tepki bölgesindedir. Daha büyük genliklerde tepki doğrusal olmaktan çıkar: CCW tepkisi $h_0 \approx 0.05$'in üzerinde doyuma gitmeye başlar, breathing tepkisi $h_0 \approx 0.08$'de belirgin biçimde doğrusallıktan sapar; CW sürmede ise $h_0 \approx 0.2$'de sürme frekansından farklı frekanslı ($\omega \approx 1.5$) ek bir salınım ortaya çıkar.