Ortalama Alan Yaklaşımı

En yakın komşulu spin- $S$ Ising model Hamiltoniyeni

(1) $\begin{equation*}\mathcal{H}=-J\summ{<i,j>}{}{S_iS_j}-D\summ{i}{}{S_i^2}-H\summ{i}{}{ S_i} \end{equation*}$

ile verilir. Burada $S_i$ , $i$ örgü noktasındaki spin operatörünün $z$ bileşenidir ve
$s_i=-S,-S+1,\ldots S-1,S$ olacak şekilde $2S+1$ farklı özdeğere sahiptir. $J>0$ en yakın komşu spinler arasındaki
ferromanyetik değiş-tokuş etkileşimi, $D$ kristal alan
(tek iyon anizotropisi), ve $H$ de boyuna dış manyetik alandır. Hamiltoniyendeki ilk toplam en yakın komşu spinler
üzerinden olup, diğer toplamlar tüm ötgü noktaları üzerindendir.

Temel yaklaşım Hamiltoniyeni, seçilen $i$ örgü noktasındaki spin ile ilgili terimler ( $\mathcal{H}<em>i$ ) ve o örgü noktasıyla ilgili olmayan terimler ( $\mathcal{H}^\prime$ ) olarak ayırmaktır. Genelleştirilmiş Callen-Suzuki [1] özdeşlikleri ile $i$ örgü noktasındaki termal ortalamalar

(2) $\begin{equation*}\sandd{S_i^n}=\sandd{\frac{Tr_i S_i^n \exp{\paran{-\beta \mathcal{H}_i}}}{Tr_i\exp{\paran{-\beta \mathcal{H}_i}}}}, \end{equation*}$

ile hesaplanabilir. Hamiltoniyenin ayrılan iki parçası birbiri ile komüt ise bu özdeşlik kesindir. Burada , $n=1,2,\ldots, 2S$ değerlerini alır ve $Tr_i$ , $i$ örgü noktası üzerinden kısmi iz işlemini temsil etmektedir. Spin-S sistem için termal ortalamalar $n=1$ için dipol moment (manyetizasyon), $n=2$ için kuadrupol moment, $n=3$ için oktupol moment vb. isimlerini alır. Burada, $z$ en yakın komşu sayısı ve $S</em>\delta$ da $i$ örgü noktasındaki spinin en yakın komşularını temsil etmek üzere,

(3) $\begin{equation*}\mathcal{H}<em>i=S_i\paran{E_i+H}+S_i^2D, \quad E_i=J\summ{\delta=1}{z}{S</em>\delta}, \end{equation*}$

ile tanımlıdır.

Denklem (2) ile hesap yapmak, ilgili matris temsillerinin hesaplanması ve belirtilen izin alınması ile mümkün olacaktır. Spin operatörünün $z$ bileşeninin baza etkisi

(4) $\begin{equation*} S_i\ket{s_i}=s_i\ket{s_i} \end{equation*}$

ile tanımlıdır. Buradaki öz durumlar, $\ket{s_i}=\ket{-s},\ket{-s+1}, \ldots, \ket{s}$ şeklindedir. Hamiltoniyende spin operatörünün sadece $z$ bileşeni olduğundan $\mathcal{H}_i$ matris temsili köşegen olur ve $\exp\paran{-\beta \mathcal{H}_i}$ matrisi basitçe, $\mathcal{H}_i$ matris elemanlarının $-\beta$ ile çarpılıp üstele alınması ile elde edilebilir.

(5) $\begin{equation*} \bra{s_i}\exp{\paran{-\beta\mathcal{H}_i}}\ket{s_i} = \exp\left[s_i\paran{E_i+H}+s_i^2D\right]. \end{equation*}$

Denklem (2) nin paydasındaki ifade, Denklem (5) ile verilen matris
elemanlarının toplamıdır. Payındaki ifade ise, elemanları denklem (5) ile tanımlı matrisin $S_i^n$ matrisi ile çarpımı sonucu oluşan matrisin köşegen elemanlarının toplamı olacaktır. Bu süreç sonunda Denklem (2), tek değerli $n$ için

(6) $\begin{equation*}\sandd{S_i^n}=\sandd{\frac{\summ{k=-S}{S}{}k^n\exp{\paran{\beta D k^2}\sinh{\left[\beta k\paran{E_i+H}\right]}}}{\summ{k=-S}{S}{}\exp{\paran{\beta D k^2}\cosh{\left[\beta k\paran{E_i+H}\right]}}}}, \end{equation*}$

haline gelirken, çift değerli $n$ için

(7) $\begin{equation*}\sandd{S_i^n}=\sandd{\frac{\summ{k=-S}{S}{}k^n\exp{\paran{\beta D k^2}\cosh{\left[\beta k\paran{E_i+H}\right]}}}{\summ{k=-S}{S}{}\exp{\paran{\beta D k^2}\cosh{\left[\beta k\paran{E_i+H}\right]}}}}, \end{equation*}$

şeklinde verilecektir.

Örgünün öteleme simetrisi kabulu altında ortalama alan yaklaşımı

(8) $\begin{equation*} E_i=J\summ{\delta=1}{z}{S_\delta}=z J\sandd{S_\delta}=zJm \end{equation*}$

kabulune dayanır. Burada $m$ manyetizasyondur. Bu yaklaşım altında Denklem (6) $n=1$ için

(9) $\begin{equation*}m=\frac{\summ{k=-S}{S}{}k\exp{\paran{\beta D k^2}\sinh{\left[\beta k\paran{zJm+H}\right]}}}{\summ{k=-S}{S}{}\exp{\paran{\beta D k^2}\cosh{\left[\beta k\paran{zJm+H}\right]}}}. \end{equation*}$

haline gelecektir.

Denklem (9) lineer olmayan bir denklemdir ve Newton-Raphson gibi [2] nümerik yöntemler ile çözülebilir. Sistemde enerji birimi olarak $J$ seçilirse tüm Hamiltoniyen parametreleri bu nicelik ile ölçeklenerek boyutsuz nicelikler ile çalışmak daha uygun olacaktır.

(10) $\begin{equation*} d=D/J,t=k_BT/J,h=H/J. \end{equation*}$

Sisteme ait histeresis eğrileri Denklem (9) un ardışık manyetik alan değerleri için çözümleri ile elde edilebilir. İkinci derece kritik sıcaklık ise, Denklem (9) un $m$ ye göre lineerleştirilip, sıcaklığa göre çözümü ile bulunabilecektir. Spin-S Ising modelin ortalam alan ve etkin alan yaklaşımları ile çözümlerine dair güncel derleme çalışmalar mevcuttur [3].

Ortalama alan yaklaşımı formülasyonun kolaylığı düşünülürse, ilk bakışta hızlı bir şekilde manyetik sistemin termodinamik niceliklerinin davranışı ve kritik davranışı hakkında fikir verebilir. Ancak sayısal olarak sistemin kritik sıcaklığı vb. niceliklere dair ürettiği sonuçlar yeteri kadar hassas değildir. Çalışma grubumuz, ortalama alan yaklaşımını modellerin ilk bakıştaki nitel davranışlarını görmek için kullanmaktadır.

Kaynaklar
[1] T. Balcerzak, J. Magn. Magn. Mater. 246 (2002) 213.
[2] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery,
Numerical Recipes in Fortran 90 (Third edition, Cambridge University Press, USA 2007)
[3] J. Strecka, M. Jascur, acta physica slovaca 65 (2015) 235.