Manyetizma

Klasik elektromanyetik teoriye göre manyetik alan kaynakları elektrik akımları ve değişen elektrik alanlardır.
Katılardaki manyetik etkilerin kaynağı ise atomlardaki elektronların hareketinden kaynaklanan mikroskobik akım
ilmekleri olarak düşünelebilir. Fakat birbirlerinden bağımsız olarak 1911 yılında Niels Bohr ve 1919 yılında
Johanna H. van Leeuwen diyamanyetizma olayının klasik fizikte var olamayacağını göstermişlerdir. Dolayısıyla
manyetizma ancak kuantum mekaniği kullanılarak anlaşılabilir. Manyetizma, atomlardaki elektronların açısal momentumlarıyla yakından ilgilidir.
Dolayısıyla manyetizmanın mikroskobik teorisi, orbital hareketi ve spin olmak üzere iki kaynağı olan elektronik
açısal momentumun kuantum mekaniğine dayanır. Ferromanyetik malzemeler, manyetik alanın mevcut olmadığı durumlarda dahi kendiliğinden sıfırdan farklı bir manyetik alana sahiptir. Bu manyetizasyon, atomların manyetik momentleri arasındaki kuvvetli değiş tokuş (exchange) etkileşimleriyle tarafından oluşturulur [1].

Katılarda düşük sıcaklıklarda kendiğinden oluşan manyetik düzen katıhal fiziğinde temel bir konudur.
Ferromagnetler, antiferromagnetler, sıvı kristaller ve süperiletkenler katı durumun kendisi gibi düzenli fazdadırlar.
Tüm bu düzenli yapılar, bazı ortak temel özelliklere sahiptirler. Örneğin, düzen parametresi olarak isimlendirilen
fiziksel büyüklük T_C kritik sıcaklığının altında göze çarpan bir farklılık sergilerler.
Her bir manyetik düzen için tanımlanan düzen parametresi kritik sıcaklığın üzerinde (T>T_C) sıfır iken
kritik sıcaklığın altında (T<T_C) sıfırdan farklı bir değer alır. Başka bir deyişle kritik
sıcaklık sistemin düzenli fazda olup olmadığı hakkında bilgi sahibi olmamıza yardımcı olur.
Ferromanyetik malzemeler için düzen parametresi manyetizasyondur. Düşük sıcaklıklarda atomik manyetik momentlerin
aynı yönde yönelmesiyle kendiliğinden oluşan mıknatıslanma Curie sıcaklığında sıfıra düşer [2].

Spin Modelleri

Manyetik modeller manyetizmaya anlamamıza yardımcı oldukları kadar aynı zamanda kuantum mekaniği,
istatiksel mekanik, ve biyoloji gibi bilimin diğer dallarında kullanılmaktadırlar.
Manyetik sistemleri modelleyebilmek için Hamiltoniyenleri spin değişkenleri cinsinden yazmak
uygundur. Aşağıdaki alt bölümlerinde bahsedeceğimiz modellerde, spinler düzenli örgünün
örgü noktalarına yerleşmiştir. Üç boyutta (basit kübik, yüzey merkezli gibi) örgülerin yanı
sıra iki boyutta kare, üçgen ve altıgen örgülerle de ilgilenebiliriz [3].

Spin-1/2 Ising Modeli

Etkileşen manyetik momentlerden oluşan sistemleri tanımlamada en başarılı
olan modellerden biri spin-1/2 Ising modelidir. Bu modelde, her bir örgü noktasına ±1
değerlerini alabilen klasik spin değişkeni S_i yerleştirilir. Spin-1/2 Ising modeline
ait hamiltoniyen

(1)   \begin{equation*} \mathcal{H}=\displaystyle-J\sum_{<ij>} S_i S_j -H\sum_i S_i \end{equation*}


olarak yazılır. Burada ilk terim spinlerin kooperatif davranışından sorumludur ve
J değiş tokuş etkileşim terimine karşılık gelir. J nin pozitif değerlerinde örgü
noktalarına yerleşmiş olan spinler paralel yönelimi tercih ederken, J nin negatif
değerlerinde antiparalel yönelim tercih edilir. <ij> en yakın komşu spinler üzerinde
toplamı temsil etmektedir. Gerekilen durumlarda diğer komşu spin etkileşimleri hamiltoniyene
dahil edilebilir. Denklem 1 deki ikinci terim ise H manyetik alanı ile
spinler arasındaki etkileşimi temsil eden Zeeman terimidir. J=0 için denklem 1
bir paramagnetin Hamiltoniyenine indirgenir. Bu durumda spinler etkileşmez ve dolayısyla
faz geçişi meydana gelmez.

Ising modeli, Wilhelm Lenz (1888-1957) tarafından 1920 yılında önerilmiştir [4] ve bir boyutta
Ernest Ising tarafından çözülmüştür. Ising modelini bir boyutta özel bir duruma karşılık gelir çünkü
faz geçişi sadece sıfır sıcaklıkta meydana gelir. Ayrıca, bir boyutta Ising modeli
transfer matrisi, seri açılımları ve renormalizasyon grup
kullanılarak çözülebililir. Lars Onsager 1944 yılında iki boyutta Ising modeli
sıfır manyetik alanda çözmüştür ve iki boyutta faz geçişi meydana geldiğini göstermiştir [5].
Manyetik alan varlığındaki iki boyutlu Ising modeli ve hatta sıfır manyetik alan için
üç boyutlu Ising modeli için analitik çözüm mevcut değildir.

Spin-1 Ising Modeli

İkiden fazla duruma sahip olan sistemler için yüksek spinli Ising modelleri
uygundur. Örneğin, spin-1 Ising modeli için Hamiltoniyen

(2)   \begin{equation*} \mathcal{H}=\displaystyle-J\sum_{<ij>} S_i S_j-K\sum_{<ij>} S_i^2 S_j^2-D\sum_i S_i^2-H\sum_i S_i \end{equation*}


şeklindedir. D kristal alan parametresi, K ise bikuadratik spin-spin etkileşim terimidir.
Spin değişkeni S_i=0,±1 değerlerini alır. Geniş parametre kümesine sahip olduğundan spin-1 Ising
modeli zengin kritik davranış sergiler.

X-Y ve Heisenberg Modeli

Ising modelinde spin vektörü sadece manyetik alan tarafından yaratılan kuantizasyon
doğrultusunda yönelebilir. Dolayısıyla Ising modelinin spin uzayının oldukça anizotropik
olduğu mıknatıslara uygulanabileceğini söyleyebiliriz. Bazı manyetik sistemler bu duruma uygun iken
bazı durumlarda spin kuantizasyon ekseninden dalgalanmalar sergileyebilir. Böyle bir durumda
daha gerçekçi bir Hamiltoniyen

(3)   \begin{equation*} \mathcal{H}=\displaystyle-J_z\sum_{<ij>} S_i^z S_j^z -J_{xy}\sum_{<ij>} (S_i^xS_j^x+S_i^yS_j^y) -H\sum_i S_i^z \end{equation*}


yazılabilir. x, y ve z spin uzayında kartezyen eksenlere karşılık gelir.
J_{xy}=0 durumunda bu hamiltoniyen Ising modeline indirgenir. J_{xy}=J_{z}=J
olduğu durumda denklem 4

(4)   \begin{equation*} \mathcal{H}=\displaystyle-J\sum_{<ij>} \vec{S}_i.\vec{S}_j -H\sum_i S_i \end{equation*}


şeklindedir. Denklem 4 ise Heisenberg modeline karşılık gelir [6]. Heisenberg modeli
1928 yılında öne sürülmüştür ve bu model ferromanyetizmaya neden olan değiş tokuş
etkileşimini tanımlayan mikroskobik bir Hamiltoniyen ile temsil edilir.
Heisenberg modeli, d uzay boyutu olmak üzere d>2 için faz geçişi sergiler.
X-Y modeli ise denklem 3‘de J_z=0 alınarak elde edilir.
Bu modelde spinler iki boyutlu vektörlerdir.

Kaynaklar

[1] R. Skomski, Simple Models of Magnetism (Oxford University Press, New York, 2008).
[2] J. M. D. Coey, Magnetism and Magnetic Materials (Cambridge University Press, New York, 2009).
[3] J. M. Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions (Oxford University Press, New York, 1992).
[4] E. Ising, Z. Phys. 31 (1925) 253-258.
[5] L. Onsager, Physical Review, Series II, 65 (1944) 117-149.
[6] W. Heisenberg, Z. Phys. 49 (1928) 619-636.