Etkin Alan Yaklaşımı

En yakın komşulu spin- $S$ Ising model Hamiltoniyeni

(1) $\begin{equation*}\mathcal{H}=-J\summ{<i,j>}{}{S_iS_j}-D\summ{i}{}{S_i^2}-H\summ{i}{}{S_i}\end{equation*}$

ile verilir. Burada $S_i$ , $i$ örgü noktasındaki spin operatörünün $z$ bileşenidir ve
$s_i=-S,-S+1,\ldots S-1,S$ olacak şekilde $2S+1$ farklı özdeğere sahiptir. $J>0$ en yakın komşu spinler arasındaki
ferromanyetik değiş-tokuş etkileşimi, $D$ kristal alan
(tek iyon anizotropisi), ve $H$ de boyuna dış manyetik alandır. Hamiltoniyendeki ilk toplam en yakın komşu spinler
üzerinden olup, diğer toplamlar tüm ötgü noktaları üzerindendir.

Temel yaklaşım Hamiltoniyeni, seçilen $i$ örgü noktasındaki spin ile ilgili terimler ( $\mathcal{H}i$ ) ve o örgü noktasıyla ilgili olmayan terimler ( $\mathcal{H}^\prime$ ) olarak ayırmaktır. Genelleştirilmiş Callen-Suzuki [1] özdeşlikleri ile $i$ örgü noktasındaki termal ortalamalar

(2) $\begin{equation*}\sandd{S_i^n}=\sandd{\frac{Tr_i S_i^n \exp{\paran{-\beta \mathcal{H}_i}}}{Tr_i\exp{\paran{-\beta \mathcal{H}_i}}}},\end{equation*}$

ile hesaplanabilir. Hamiltoniyenin ayrılan iki parçası birbiri ile komüt ise bu özdeşlik kesindir. Burada , $n=1,2,\ldots, 2S$ değerlerini alır ve $Tr_i$ , $i$ örgü noktası üzerinden kısmi iz işlemini temsil etmektedir. Spin-S sistem için termal ortalamalar $n=1$ için dipol moment (manyetizasyon), $n=2$ için kuadrupol moment, $n=3$ için oktupol moment vb. isimlerini alır. Burada, $z$ en yakın komşu sayısı ve $S\delta$ da $i$ örgü noktasındaki spinin en yakın komşularını temsil etmek üzere,

(3) $\begin{equation*}\mathcal{H}i=S_i\paran{E_i+H}+S_i^2D, \quad E_i=J\summ{\delta=1}{z}{S\delta}, \end{equation*}$

ile tanımlıdır.

Denklem (2) ile hesap yapmak, ilgili matris temsillerinin hesaplanması ve belirtilen izin alınması ile mümkün olacaktır. Spin operatörünün $z$ bileşeninin baza etkisi

(4) $\begin{equation*} S_i\ket{s_i}=s_i\ket{s_i} \end{equation*}$

ile tanımlıdır. Buradaki öz durumlar, $\ket{s_i}=\ket{-s},\ket{-s+1}, \ldots, \ket{s}$ şeklindedir. Hamiltoniyende spin operatörünün sadece $z$ bileşeni olduğundan $\mathcal{H}_i$ matris temsili köşegen olur ve $\exp\paran{-\beta \mathcal{H}_i}$ matrisi basitçe, $\mathcal{H}_i$ matris elemanlarının $-\beta$ ile çarpılıp üstele alınması ile elde edilebilir.

(5) $\begin{equation*} \bra{s_i}\exp{\paran{-\beta\mathcal{H}_i}}\ket{s_i} = \exp\left[s_i\paran{E_i+H}+s_i^2D\right]. \end{equation*}$

Denklem (2) nin paydasındaki ifade, Denklem (5) ile verilen matris elemanlarının toplamıdır. Payındaki ifade ise, elemanları denklem (5) ile tanımlı matrisin $S_i^n$ matrisi ile çarpımı sonucu oluşan matrisin köşegen elemanlarının toplamı olacaktır. Bu süreç sonunda Denklem (2),

(6) $\begin{equation*}\sandd{S_i^n}=\sandd{F_n\paran{E_i,H,D}}. \end{equation*}$

şeklindeki kapalı ifade ile verilecektir.
Buradaki fonksiyon tek değerli $n$ için

(7) $\begin{equation*}F_n\paran{E_i,H,D}=\frac{\summ{k=-S}{S}{}k^n\exp{\paran{\beta D k^2}\sinh{\left[\beta k\paran{E_i+H}\right]}}}{\summ{k=-S}{S}{}\exp{\paran{\beta D k^2}\cosh{\left[\beta k\paran{E_i+H}\right]}}}, \end{equation*}$

haline gelirken, çift değerli $n$ için

(8) $\begin{equation*}F_n\paran{E_i,H,D}=\frac{\summ{k=-S}{S}{}k^n\exp{\paran{\beta D k^2}\cosh{\left[\beta k\paran{E_i+H}\right]}}}{\summ{k=-S}{S}{}\exp{\paran{\beta D k^2}\cosh{\left[\beta k\paran{E_i+H}\right]}}}, \end{equation*}$

şeklinde tanımlıdır.

Denklem (6), $E_i$ nin Denklem (3) ile verili olan tanımı hatırlanacak olursa, içinde spin operatörlerini tutmaktadır. İfadeleri
bu spin operatörlerinin polinomsal ifadesi haline getirmek için diferansiyel operatör tekniği [2], integral operatör tekniği [3] gibi yöntemler geliştirilmiştir. Diferansiyel operatör tekniği kullanalım. Yöntem, $a$ bir sabit, $\nabla=\ktur{}{x}$ diferansiyel operatörü ve $F(x)$ herhangi bir fonksiyon olmak üzere

(9) $\begin{equation*}\exp{\paran{a\nabla}}F\paran{x}=F\paran{x+a},\end{equation*}$

özdeşliğine dayanır. Bu özdeşlik yardımıyla, Denklem (6)

(10) $\begin{equation*}\sandd{S_i^n}=\sandd{\exp{\paran{E_i\nabla}}}F_n\paran{x,H,D}|{x=0} \end{equation*}$

şeklinde yazılabilir. $E_i$ teriminin Denklem (3) deki tanımı burada yazılırsa, diferansiyel operatör, spin operatörlerinin polinomsal formu elde edilebilir. Örneğin $S=1/2$ için bu ifade

(11) $\begin{equation*} \exp{\paran{E_i\nabla}}=\exp{\paran{J\nabla\summ{\delta=1}{z}{}S\delta}}=\prodd{\delta=1}{z}{}\exp{\paran{J\nabla\summ{\delta=1}{z}{}S_\delta}}= \prodd{\delta=1}{z}{}\left[\cosh{\paran{J\nabla}}+ S_\delta\sinh{\paran{J\nabla}}\right] \end{equation*}$

şeklinde iken $S=1$ için

(12) $\begin{equation*} \exp{\paran{E_i\nabla}}=\prodd{\delta=1}{z}{}\left[1+S_\delta\sinh{\paran{J\nabla}}+ \paran{S_\delta}^2\paran{\cosh{\paran{J\nabla}-1}}\right] \end{equation*}$

şeklindedir. Bu açılımlar van der Waerden özdeşlikleri olarak bilinmektedir. Spin değeri yükseldikçe bu açılım daha da karmaşıklalşır. Bu nedenle yüksek spinli sistemlerde yaklaşık van der Waerden özdeşliklerini [4] kullanmak daha akılcıdır.
Bu özdeşlikler ile, genel spin- $S$ sistem için diferansiyel operatör açılımı

(13) $\begin{equation*} \exp{\paran{E_i\nabla}}=\prodd{\delta=1}{z}{}\left[\cosh{\paran{J\eta_\delta\nabla}}+ \frac{S_\delta}{\eta_\delta}\sinh{\paran{J\eta_\delta\nabla}}\right] \end{equation*}$

şeklinde yazılır. Burada $\eta_\delta^2=\sandd{\paran{S_\delta}^2}$ ile tanımlıdır. Bu aşamada daha yüksek dereceli ısısal ortalamalar, tamsayı $n$ için
$S_\delta^{2n}=\sandd{S_\delta^{2}}^n$ ve $S_\delta^{2n+1}=S_\delta\sandd{S_\delta^{2}}^n$ sağlanacak şekilde ihmal edilmiştir. Bu da, Denklem (10) ile verilen sistemde bulunan $n$ sayıdaki denklemin ikiye düşmesi demektir.

Denklem (13), Denklem (10) da yerine yazılması
ile elde edilen ifadedeki çarpım açlırsa çoklu spin korelasyonları oluşacaktır. Bu korelasyonlar “decoupling” yaklaşımı [2] ile

(14) $\begin{equation*} \sandd{S_1S_2\ldots S_k}=\sandd{S_1}\sandd{S_2}\ldots \sandd{S_k} \end{equation*}$

şeklinde ele alınabilir. Örgünün öteleme simetrisi kabulu altında da bu yaklaşım

(15) $\begin{equation*} \sandd{S_1S_2\ldots S_k}=m^k \end{equation*}$

ile ifade edilecektir. Burada $m$ manyetizasyondur, $m=\sandd{S_i}=\sandd{S_\delta}$ . Tüm bu kabullerden sonra sistemin manyetizasyon ve kuadrupolar momenti için denklemler

(16) $\begin{equation*} m=\summ{n=0}{z}{}{}\komb{z}{n}\frac{m^n}{\eta^n}A_{n}^{(z)}, \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*}\eta^2=\summ{n=0}{z}{}{}\komb{z}{n}\frac{m^n}{\eta^n}B_{n}^{(z)},\end{equation*}$

} olarak elde edilir. Buradaki katsayılar

(18) $\begin{equation*} A_{n}^{(z)}=\frac{1}{2^z}\summ{p=0}{z-n}{}\summ{q=0}{n}{}\komb{z-n}{p}\komb{n}{q } (-1)^{q} F_1[\eta J (z-2p-2q)], \end{equation*}$

(19) $\begin{equation*} B_{n}^{(z)}=\frac{1}{2^z}\summ{p=0}{z-n}{}\summ{q=0}{n}{}\komb{z-n}{p}\komb{n}{q } (-1)^{q} F_2[\eta J (z-2p-2q)]. \end{equation*}$

ile tanımlıdır.

Denklem (16)-(17) lineer olmayan bir denklem sistemidir ve Newton-Raphson gibi nümerik yöntemler [5] ile çözülebilir. Sistemde enerji birimi olarak $J$ seçilirse tüm Hamiltoniyen parametreleri bu nicelik ile ölçeklenerek boyutsuz nicelikler ile çalışmak daha uygun olacaktır.

(20) $\begin{equation*}d=D/J,t=k_BT/J,h=H/J. \end{equation*}$

Sisteme ait histeresis eğrileri Denklem (16)-(17) nin ardışık manyetik alan değerleri için çözümleri ile elde edilebilir. İkinci derece kritik sıcaklık ise, Denklem (16)-(17) nin $m$ ye göre lineerleştirilip, sıcaklığa göre çözümü ile bulunabilecektir. Spin-S Ising modelin ortalam alan ve etkin alan yaklaşımları ile çözümlerine dair güncel derleme çalışmalar mevcuttur [6].

Etkin alan yaklaşımı formülasyonu ortalama alan formülasyonuna göre daha karmaşıktır ve elde edilen denklemlerin sayısal çözümleri daha uzun sürmektedir. Buna karşılık elde edilen nicel sonuçlar ortalama alan yaklaşımına göre daha hassastır. Çalışma grubumuzun manyetik modellerin çözümlerine dair en sık kullandığı yöntemlerden birisi etkin alan yaklaşımıdır. Statik ve dinamik manyetik modellerin yanında; bağ seyreltilmesi, örgü noktası seyreltilmesi, rasgele alan dağılımı gibi donmuş düzensizlik altındaki Ising, Heisenberg modelleri gibi manyetik modeller bu yöntem dahilinde grubumuzca sıkça incelenmiştir. Bu incelemelerin yanında grubumuzun, etkin alan yaklaşımının sınırlarının belirlenmesi ve yöntemin iyileştirilmesi yönünde de çalışmaları mevcuttur.

Kaynaklar

[1] T. Balcerzak, J. Magn. Magn. Mater. 246 (2002) 213.
[2]R. Honmura, T. Kaneyoshi, J. Phys. C: Solid State Phys. 12 (1979) 3979.
[3] J. Mielnicki, T. Balcerzak, V.H. Truong, G. Wiatrowski, L. Wojczak, J. Magn. Magn. Mat. 58 (1986) 325
[4] T. Kaneyoshi, J. Tucker, M. Jascur, Physica A 176, 495 (1992).
[5] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery,
Numerical Recipes in Fortran 90 (Third edition, Cambridge University Press, USA2007)
[6] J. Strecka, M. Jascur, acta physica slovaca 65 (2015) 235.